Introduction
- Qu’est-ce que le dénombrement ? Une définition simple et intuitive, liée au comptage des objets.
- Qu’est-ce que la probabilité ? Une introduction à la notion de chance et d’aléatoire.
- Pourquoi étudier le dénombrement et les probabilités ? Les applications dans la vie quotidienne, les jeux, les sciences, etc.
Le dénombrement : compter de toutes les façons
- Les arrangements : Ordonner des éléments (permutations, arrangements avec répétition).
- Les combinaisons : Choisir des éléments parmi un ensemble (combinaisons simples, avec répétition).
- Les produits cartésiens : Construire des ensembles à partir d’autres ensembles.
- Le principe fondamental de comptage : Multiplier les possibilités pour compter les cas totaux.
Les probabilités : mesurer le hasard
- L’expérience aléatoire : Définition et exemples.
- L’univers des possibles : L’ensemble de tous les résultats possibles.
- L’événement : Un sous-ensemble de l’univers des possibles.
- La probabilité d’un événement : Définition classique, fréquentiste et axiomatique.
- Les propriétés des probabilités : Axiomes de Kolmogorov.
Les probabilités conditionnelles et l’indépendance
- Probabilité conditionnelle : La probabilité d’un événement sachant qu’un autre s’est produit.
- Indépendance : Deux événements sont indépendants si l’occurrence de l’un n’influence pas l’occurrence de l’autre.
- Formule des probabilités totales : Décomposer un événement en événements élémentaires.
- Théorème de Bayes : Inverser les probabilités conditionnelles.
Variables aléatoires et lois de probabilité
- Variable aléatoire : Une fonction qui associe un nombre à chaque résultat d’une expérience aléatoire.
- Loi de probabilité : La distribution des valeurs d’une variable aléatoire.
- Lois de probabilité usuelles : Loi uniforme, loi binomiale, loi de Poisson.
- Espérance et variance : Les caractéristiques principales d’une variable aléatoire.
Applications du dénombrement et des probabilités
- Jeux de hasard : Calcul des probabilités de gagner à différents jeux.
- Statistiques : Estimation de paramètres, tests d’hypothèses.
- Sciences expérimentales : Modélisation de phénomènes aléatoires.
- Informatique : Algorithmes aléatoires, cryptographie.