Introduction
Les notions de limite et de continuité sont fondamentales en mathématiques, en particulier en analyse. Elles sont à la base de nombreux concepts plus avancés comme la dérivation et l’intégration. Intuitivement, la limite d’une fonction en un point représente la valeur vers laquelle tend cette fonction lorsque la variable s’approche de ce point. La continuité d’une fonction, quant à elle, signifie que le graphe de cette fonction n’a pas de « trou » ou de « saut » sur un intervalle donné. Dans cet article, nous allons explorer en détail ces deux notions, leurs propriétés et leurs applications.
Partie 1 : Les Limites
Définition et interprétation graphique:
- Limite en un point : On dit que la limite de f(x) lorsque x tend vers a est L si f(x) se rapproche arbitrairement de L lorsque x se rapproche de a, sans nécessairement être égal à a.
- Limite à l’infini : On étudie le comportement de la fonction lorsque x devient très grand en valeur absolue.
- Limites latérales : On distingue les limites à gauche et à droite d’un point pour étudier les comportements différents de part et d’autre.
Propriétés et calcul des limites:
- Opérations sur les limites: Somme, produit, quotient, composition.
- Formes indéterminées: 0/0, ∞/∞, ∞ – ∞ et techniques pour les lever (factorisation, conjugué, etc.).
- Théorème des gendarmes: Encadrement d’une fonction pour déterminer sa limite.
- Applications: Étude des asymptotes, croissances comparées, résolution d’équations.
Exemple: Soit la fonction f(x) = (x² – 4) / (x – 2). On peut montrer que la limite de f(x) lorsque x tend vers 2 est égale à 4.
Partie 2 : La Continuité
Définition et caractérisation:
- Continuité en un point: Une fonction est continue en un point si sa limite en ce point est égale à sa valeur en ce point.
- Continuité sur un intervalle: Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle.
Propriétés des fonctions continues:
- Théorème des valeurs intermédiaires: Si une fonction est continue sur un intervalle [a,b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).
- Théorème de la bijection: Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective.
Exemples et contre-exemples:
- Fonctions usuelles: Polynômes, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques.
- Fonctions discontinues: Fonction partie entière, fonction de Dirichlet.
Exemple: La fonction f(x) = x² est continue sur tout ℝ.
Partie 3 : Liens entre limites et continuité
- Continuité et dérivabilité: Une fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point.
- Théorème de la limite des fonctions composées: La limite de la composée de deux fonctions est égale à la composée des limites.