Introduction
- Qu’est-ce qu’une équation différentielle ? Une définition simple et intuitive, en lien avec les notions de fonction et de dérivée.
- Pourquoi étudier les équations différentielles ? Une présentation des nombreux domaines d’application (physique, biologie, économie, etc.).
- Plan de l’article : Un aperçu des différents points qui seront abordés.
Les bases des équations différentielles
- Définition formelle : La définition mathématique précise d’une équation différentielle.
- Ordre d’une équation différentielle : La notion d’ordre et son importance.
- Solutions d’une équation différentielle : Qu’est-ce qu’une solution ? Les différentes méthodes pour vérifier si une fonction est solution.
- Conditions initiales et problèmes de Cauchy : Le rôle des conditions initiales pour déterminer une solution unique.
Types d’équations différentielles
- Équations différentielles ordinaires : Les équations où l’inconnue est une fonction d’une seule variable.
- Équations différentielles aux dérivées partielles : Les équations où l’inconnue est une fonction de plusieurs variables.
- Équations linéaires et non linéaires : La distinction entre ces deux types d’équations et leurs propriétés.
- Équations à coefficients constants et à coefficients variables : Les particularités de ces deux types d’équations.
Méthodes de résolution
- Équations à variables séparables : La méthode de résolution la plus simple.
- Équations linéaires du premier ordre : La méthode du facteur intégrant.
- Équations linéaires du second ordre à coefficients constants : L’équation caractéristique et les solutions générales.
- Méthodes numériques : Une introduction aux méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles (Euler, Runge-Kutta, etc.).
Applications des équations différentielles
- Physique : Le mouvement d’un objet, les circuits électriques, la propagation de la chaleur, etc.
- Biologie : La croissance des populations, la cinétique enzymatique, etc.
- Économie : Les modèles de croissance économique, les modèles de diffusion, etc.