Introduction :
- Qu’est-ce qu’une fonction ? Définir simplement une fonction comme une relation qui associe à chaque élément d’un ensemble (l’ensemble de départ) un unique élément d’un autre ensemble (l’ensemble d’arrivée).
- Pourquoi étudier les fonctions ? Souligner l’importance des fonctions dans tous les domaines utilisant les mathématiques (physique, économie, informatique, etc.), en donnant des exemples concrets.
- À qui s’adresse ce cours ? Cibler un public large : étudiants, lycéens, passionnés de mathématiques, tout en précisant les prérequis éventuels (niveau scolaire, notions de base en algèbre).
Contenu du cours :
- Définition et notation :
- Définition formelle : Donner la définition mathématique d’une fonction, en utilisant les notions d’ensemble, d’élément et d’application.
- Notation : Expliquer les différentes notations utilisées pour représenter une fonction (notation de Leibniz, notation de Lagrange, diagramme de flèche).
- Représentation graphique :
- Courbes représentatives : Montrer comment représenter graphiquement une fonction dans un plan cartésien.
- Types de courbes : Présenter les différentes formes que peuvent prendre les courbes représentatives (droite, parabole, exponentielle, etc.).
- Caractéristiques d’une fonction :
- Domaine et image : Définir et illustrer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction.
- Zéros d’une fonction : Expliquer la notion de zéro d’une fonction et son importance pour résoudre des équations.
- Signe d’une fonction : Montrer comment étudier le signe d’une fonction à l’aide de son graphe ou de tableaux de signes.
- Variations d’une fonction : Définir les notions de fonction croissante, décroissante, constante, et montrer comment les déterminer graphiquement ou analytiquement.
- Opérations sur les fonctions :
- Somme, produit, quotient : Définir et illustrer ces opérations en donnant des exemples.
- Composition de fonctions : Expliquer le concept de composition de fonctions et son intérêt.
- Fonctions usuelles :
- Fonction affine : Étudier les propriétés de la fonction affine, son graphe et ses applications.
- Fonction polynôme : Présenter les fonctions polynômes de degré supérieur et leurs caractéristiques.
- Fonction exponentielle et logarithmique : Introduire ces fonctions importantes et leurs propriétés.
- Fonctions trigonométriques : Présenter les fonctions sinus, cosinus et tangente, et leurs applications.
Applications des fonctions :
- Modélisation de phénomènes : Montrer comment les fonctions permettent de modéliser des phénomènes réels (évolution d’une population, mouvement d’un projectile, etc.).
- Résolution de problèmes : Illustrer l’utilisation des fonctions pour résoudre des problèmes concrets (optimisation, équations, inéquations).