Introduction :
Qu’est-ce que la logique mathématique ? La logique mathématique est le langage universel des mathématiques, l’outil indispensable pour raisonner de manière rigoureuse et structurée. Elle nous permet de formaliser nos pensées, de construire des arguments solides et de vérifier la validité de nos raisonnements.
Pourquoi étudier la logique mathématique ? La logique mathématique est omniprésente, de l’informatique à la philosophie, en passant par les sciences naturelles. Elle est essentielle pour :
- Comprendre les mathématiques: En dévoilant les mécanismes fondamentaux qui sous-tendent les démonstrations et les théorèmes.
- Développer sa pensée critique: En apprenant à distinguer les arguments valides des sophismes.
- Résoudre des problèmes complexes: En fournissant des outils méthodologiques puissants.
À qui s’adresse ce cours ? Ce cours s’adresse à tous ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances en mathématiques et en raisonnement logique : étudiants, chercheurs, enseignants, ou simplement des curieux désireux de mieux comprendre le fonctionnement de notre pensée. Aucune connaissance préalable spécifique n’est requise, si ce n’est une certaine curiosité intellectuelle.
Contenu du cours :
- Les bases de la logique propositionnelle :
- Propositions et valeurs de vérité : Nous explorerons la notion de proposition, c’est-à-dire d’énoncé pouvant être vrai ou faux.
- Connecteurs logiques : Nous étudierons les différents connecteurs logiques (non, et, ou, si…alors, si et seulement si) qui permettent de combiner des propositions simples pour former des propositions complexes.
- Tables de vérité : Nous apprendrons à construire des tables de vérité pour déterminer la valeur de vérité d’une proposition complexe en fonction des valeurs de vérité de ses composantes.
- La logique des prédicats :
- Quantificateurs : Nous introduirons les quantificateurs universel (pour tout) et existentiel (il existe), qui permettent de formuler des propositions portant sur des ensembles d’objets.
- Formules et interprétations : Nous étudierons la structure des formules logiques et les différentes façons de les interpréter.
- Les raisonnements :
- Le raisonnement déductif : Nous explorerons les règles d’inférence qui permettent de déduire de nouvelles propositions à partir de celles que l’on connaît déjà.
- Les démonstrations : Nous apprendrons à construire des démonstrations rigoureuses pour établir la vérité de théorèmes.
- Les méthodes de démonstration : Nous étudierons différentes méthodes de démonstration, telles que la démonstration directe, la démonstration par l’absurde, et la démonstration par récurrence.
- Les applications de la logique :
- En informatique : Nous verrons comment la logique est utilisée dans la conception des langages de programmation, la vérification de logiciels, et l’intelligence artificielle.
- En mathématiques : Nous explorerons les fondements de la théorie des ensembles, de l’arithmétique, et de l’analyse.
- Dans d’autres domaines : Nous évoquerons brièvement les applications de la logique dans la philosophie, la linguistique, et les sciences sociales.
Méthodologie et évaluation :
- Cours magistraux : Les cours seront dispensés sous forme de cours magistraux, où les concepts fondamentaux seront présentés de manière claire et progressive.
- Travaux dirigés : Des travaux dirigés seront organisés pour permettre aux étudiants de mettre en pratique les notions acquises lors des cours.
- Contrôles continus et examen : L’évaluation se fera sous forme de contrôles continus et d’un examen final.